Fortsetzung von Einführung in die Mathematik – Matrizen (Teil 1) – Für Matrizen sindBeitrag ansehen verschiedene Rechenoperationen definiert. In diesem Teil betrachten wir die Addition/Subtraktion von Matrizen, die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar sowie das skalare Produkt von Vektoren.
Rechenoperationen auf Matrizen
Addition/Subtraktion von Matrizen
Zuerst sehen wir uns die Addition von Matrizen an. Hierzu bemühen wir ein Beispiel aus der betriebswirtschaftlichen Praxis.
Ein Unternehmen produziert die Güter G1, G2 und G3. Es werden die Händler H1, H2. H3 und H4 beliefert. Wir betrachten die Lieferungen der beides Halbjahre eines bestimmten Jahres.
| 1. Halbjahr | ||||
|---|---|---|---|---|
| H1 | H2 | H3 | H4 | |
| G1 | 20 | 16 | 8 | 10 |
| G2 | 5 | 10 | 11 | 8 |
| G3 | 12 | 6 | 9 | 11 |
| 2. Halbjahr | ||||
|---|---|---|---|---|
| H1 | H2 | H3 | H4 | |
| G1 | 20 | 14 | 9 | 11 |
| G2 | 7 | 11 | 12 | 8 |
| G3 | 10 | 9 | 8 | 13 |
Will man nun die Gesamtmenge der an einen Händler gelieferten Güter ermitteln, addiert man die jeweils korrespondierenden Elemente der beiden Tabellen. Damit das funktioniert, müssen die Tabellen hinsichtlich ihrer Zeilen- und Spaltenanzahl gleich sein.
Die Addition, die Ermittlung der Jahresliefermengen der verschiedenen Güter an die Händler, gestaltet sich wie folgt:
| Gesamtes Jahr | ||||
|---|---|---|---|---|
| H1 | H2 | H3 | H4 | |
| G1 | 20+20=40 | 16+14=30 | 8+ 9=17 | 10+11=21 |
| G2 | 5+ 7=12 | 10+11=21 | 11+12=23 | 8+ 8=16 |
| G3 | 12+10=22 | 6+ 9=15 | 9+ 8=17 | 11+13=24 |
Als Regel halten wir fest:
Regel 2.1
Zwei Matrizen gleicher Ordnung \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})\) und \(\boldsymbol{B}=(b_{ij})\) werden addiert oder subtrahiert, indem man die in den Matrizen an gleicher Stelle stehenden Elemente addiert beziehungsweise subtrahiert: \((a_{ij}) + (b_{ij}) = (a_{ij}+b_{ij})\) und \((a_{ij}) – (b_{ij}) = (a_{ij}-b_{ij})\).
Die Addition beziehungsweise Subtraktion ist nur möglich, wenn die beiden beteiligten Matrizen die gleiche Ordnung besitzen, also jeweils die gleiche Anzahl Zeilen und Spalten besitzen.
Wenn \(\boldsymbol{A}\) eine beliebige Matrix ist und \(\boldsymbol{0}\) eine Nullmatrix gleicher Ordnung, dann ist \(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{A}\) und \(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{0}=\boldsymbol{A}\).
Regel 2.2
Für die Matrizenaddition gelten:
- Kommutativgesetz: \(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\)
- Assoziativgesetz: \((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\)
- Monotoniegesetze:
\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \Rightarrow \boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}\pm\boldsymbol{C}\) und
\(\boldsymbol{A}\leq\boldsymbol{B} \Rightarrow \boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{C}\leq\boldsymbol{B}\pm\boldsymbol{C}\)
Die Subtraktion von Matrizen ist freilich nicht kommutativ.
Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
Wir greifen eines der einführenden Beispiele aus Teil 1 dieser Serie auf, das Warenhaus mit den 4 Lägern und 7 Filialen. Dort hatten wir ein Tabelle aufgestellt, die die Kosten für eine Tonne transportierter Ware von den Lagerhäusern zu den Filialen darstellte, die innerhalb einer betrachteten Periode angefallen sind. Diese Tabelle soll uns wiederum als Beispiel dienen. Die Filialen sind mit F1\dots F7 gekennzeichnet, die Läger mit A bis D.
| Lagerhaus | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 14 | 10 | 3 | 1 | 1 | 6 | 16 |
| B | 5 | 11 | 7 | 8 | 10 | 6 | 13 |
| C | 2 | 6 | 5 | 12 | 4 | 3 | 3 |
| D | 1 | 10 | 15 | 5 | 11 | 7 | 5 |
Nehmen wir nun an, die Kosten seien in US-Dollar ausgewiesen und wir wollen Sie in Euro umrechnen. Ein Dollar entspreche 0,87 Euro. Dann müssen wir jeden Wert in der Tabelle mit 0,87 multiplizieren, um den jeweiligen Wert in Euro zu berechnen.
Weil sich die Tabelle, wie wir bereits wissen, als Matrix abbilden lässt, lässt sich eine Matrix auch mit einer reellen Zahl, einem Skalar, multiplizieren. Die Dafür geltende Regel spiegelt das Vorgehen wider, welches wir auf die Tabelle anwenden, wenn wir die entsprechende Berechnung vornehmen wollten.
Regel 2.3
Eine Matrix \(\boldsymbol{A} =(a_{ij})\) wird mit einer reellen Zahl \(c\), einem Skalar, multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit dieser Zahl multipliziert wird: \(c(a_{ij}) = (ca_{ij})\).
Regel 2.4
Für die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar gelten:
- Kommutativgesetz: \(c\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}c\)
- Assoziativgesetz: \((c\cdot d)\boldsymbol{A} = c(d\boldsymbol{A})\)
- Distributivgesetze:
\(c(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=c\boldsymbol{A}+c\boldsymbol{B}\) und
\((c+d)\boldsymbol{A}=c\boldsymbol{A}+d\boldsymbol{A}\) - Monotoniegesetze:
\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \Rightarrow c\boldsymbol{A}=c\boldsymbol{B}\),
\(\boldsymbol{A}\leq\boldsymbol{B} \Rightarrow c\boldsymbol{A}\leq c\boldsymbol{B}\), falls \(c\geq 0\) und
\(\boldsymbol{A}\leq\boldsymbol{B} \Rightarrow c\boldsymbol{A}\geq c\boldsymbol{B}\), falls \(c\leq 0\)
Skalares Produkt von Vektoren
An dieser Stelle darf man sich durch die Begrifflichkeiten nicht verwirren lassen. Es geht darum, zwei Vektoren miteinander zu mutliplizieren. Wir sprechen von einem skalaren Produkt, weil das Ergebnis ein Skalar ist.
Betrachten wir hierzu vorerst wieder ein Beispiel. Ein Fahrradhändler hat in einer Woche \(x_1=5\) Fahrräder vom Typ A, \(x_2=6\) Fahrräder vom Typ B und \(x_3=3\) Fahrräder vom Typ C verkauft. Die getätigten Verkäufe lassen sich als Zeilenvektor notieren: \(\boldsymbol{x^{\prime}}=(5, 6, 3)\). Die Verkaufspreise in Euro mögen \(p_1=400\) (Typ A), \(p_2=800\) (Typ B) und \(p_3=1100\) (Typ C) betragen. Wir schreiben sie als Spaltenvektor.
$$
\boldsymbol{p} = \begin{pmatrix}
400 \\
800 \\
1100
\end{pmatrix}
$$
Der Wochenumsatz errechnet sich nun aus dem Produkt des Zeilenvektors \(\boldsymbol{x^{\prime}}\) und dem Spaltenvektor \(\boldsymbol{p}\). Dazu multiplizieren wir jedes \(x_i\) mit dem zugehörigen $p_i$ und summieren die einzelnen Produkte. – Ganz wie im realen Leben.
$$
\boldsymbol{x^{\prime}}\boldsymbol{p} = (x_1, x_2, x_3)\begin{pmatrix}
p_1 \\
p_2 \\
p_3
\end{pmatrix}
= x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3 = 5 \cdot 400 + 6 \cdot 800 + 3 \cdot 1100 = 10100
$$
Achtung: Es ist Konvention, das skalare Produkt zweier Vektoren als „Zeilenvektor mal Spaltenvektor“ zu schreiben.
Multipliziert man dagegen einen Spaltenvektor mit einem Zeilenvektor ist das Ergebnis eine Matrix! – Wir werden das im nächsten Abschnitt betrachten.
Die Rechenregel ist sehr einfach. Weil aber die Reihenfolge der Operanden bei dieser Multiplikation extrem wichtig ist, halten wir das Ganze als Regel fest:
Regel 2.5
Gegeben seien ein Zeilenvektor \(\boldsymbol{a^{\prime}}=(a_1, a_2, \dots, a_n)\) und ein Spaltenvektor
$$
\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{pmatrix}
$$
Beide haben die gleiche Ordnung $n$. Das skalare oder auch innere Produkt der beiden Vektoren ist der Skalar
$$
\boldsymbol{a^{\prime}}\boldsymbol{b} = a_1b_1 + a_2b_2+\dots+a_nb_n=\sum_{i=1}^n a_ib_i
$$
Haben alle Elemente eines Vektors den Wert \(1\), nennen wir ihn auch summierenden Vektor. In einem solchen Fall ist das skalare Produkt lediglich die Summe der Elemente des anderen Vektors.
Beispiel:
$$
(1, 2, 3)\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} = 1 + 2 + 3 = 6
$$
$$
(1, 1, 1) \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} = 1 + 2 +3 = 6
$$
Regel 2.6
Für das skalare Produkt zweier Vektoren gelten:
- Kommutativgesetz: \(\boldsymbol{a^{\prime}}\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b^{\prime}}\boldsymbol{a}\)
- Distributivgesetz: \((\boldsymbol{a^{\prime}}+\boldsymbol{b^{\prime}})\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a^{\prime}}\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b^{\prime}}\boldsymbol{c}\)
- Monotoniegesetze:
\(\boldsymbol{a^{\prime}}=\boldsymbol{b^{\prime}} \Rightarrow \boldsymbol{a^{\prime}}\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b^{\prime}}\boldsymbol{c}\), \(\boldsymbol{c}\) beliebig,
\(\boldsymbol{a^{\prime}}\leq\boldsymbol{b^{\prime}} \Rightarrow \boldsymbol{a^{\prime}}\boldsymbol{c}\leq\boldsymbol{b^{\prime}}\boldsymbol{c}\), für \(\boldsymbol{c} \geq\boldsymbol{0}\) und
\(\boldsymbol{a^{\prime}}\leq\boldsymbol{b^{\prime}} \Rightarrow \boldsymbol{a^{\prime}}\boldsymbol{c}\geq\boldsymbol{b^{\prime}}\boldsymbol{c}\), für \(\boldsymbol{c} \leq\boldsymbol{0}\)
Skript-Download
Den Beitrag gibt es auch als Skript zum Download.
Ausblick
Nachdem nun bereits die ersten Operationen auf Matrizen eingeführt und geklärt sind, beginnt die nächste Folge „Einführung in die Mathematik – Matrizen (Teil 3)“, sich mit der Multiplikation von Matrizen zu befassen.
